初中八年级数学因式分解的几种方法

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初二数学因式分解 初二数学因式分解难吗

初二数学因式分解 初二数学因式分解难吗

定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）。

公式法

如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。

平方公式:

(a+b)(a-b)=a^2-b^2

反过来为a^2-b^2=(a+b)(a-b)

完全平方公式：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

反过来为a^2+2ab+b^2=(a+b)^2

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

a^2-2ab+b^2=(a-b)^2

注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

分解因式技巧

1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。

2.分解因式技巧掌握：

①等式左边必须是多项式；

②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；

③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；

④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

3.提公因式法基本步骤：

（1）找出公因式；

（2）提公因式并确定另一个因式：

①步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；

②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；

③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

比如：

ax+ay+bx+by

=a(x+y)+b(x+y)

=(a+b)(x+y)

我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。

同样，这道题也可以这样做。

ax+ay+bx+by

=x(a+b)+y(a+b)

=(a+b)(x+y)

几道例题：

1.

5ax+5bx+3ay+3by

解法：=5x(a+b)+3y(a+b)

=(5x+3y)(a+b)

说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。

2.

x^3-x^2+x-1

解法：=(x^3-x^2)+(x-1)

=x^2(x-1)+

(x-1)

=(x-1)(x^3+1)

利用二二分法，提公因式法提出

x2，然后相合轻松解决。

3.

x^2-x-y^2-y

解法：=(x^2-y^2)-(x+y)

=(x+y)(x-y)-(x+y)

=(x+y)(x-y-1)

利用二二分法，再利用公式法a^2-b^2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。

十字相乘法

这种方法有两种情况。

①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)

．②kx^2+mx+n型的式子的因式分解

如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)．

图示如下：

a╲╱c

b╱╲d

例如：因为

1╲╱2

-3╱╲

7-3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19，

所以7x2-19x-6=(7x+2)(x-3)．

十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中

拆项、添项法

这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

=(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b)

=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

=(c+b)(c-a)(a+b)．

换元法

有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，再转换回来，这种方法叫做换元法。

相关公式

注意:换元后勿忘还元.

例如在分解(x2+x+1)(x2+x+2)-12时，可以令y=x^2+x,则

原式=(y+1)(y+2)-12

=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10

=(y+5)(y-2)

=(x^2+x+5)(x2+x-2)

=(x^2+x+5)(x+2)(x-1)．

初中数学因式分解的方法有哪些

因式分解的方法有提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法等。

因式分解的方法及解题步骤

（一）待定系数法

1.待定系数法：待定系数法是初中数学的一个重要方法。用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，解方程组即可求出待定系数的值。

2.使用待定系数法解题的一般步骤是：

（1）确定所求问题含待定系数的一般解析式；

（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；

（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

（二）提公因式法

1.提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

2.提取公因式法分解因式的解题步骤

（1）提公因式。把各项中相同字母或因式的次幂的积作为公因式提出来；当系数为整数时，还要把它们的公约数也提出来，作为公因式的系数；当多项式首项符号为负时，还要提出负号

（2）用公因式分别去除多项式的每一项，把所得的商的代数和作为另一个因式，与公因式写成积的形式。

（三）十字相乘法

1.十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。其实就是运用乘法公式运算来进行因式分解。

2.用十字相乘法分解公因式的步骤：

(1)把二次项系数和常数项分别分解因数;

(2)尝试十字图，使经过十字交叉线相乘后所得的数的和为一次项系数;

(3)确定合适的十字图并写出因式分解的结果;

(4)检验。

初二数学因式分解技巧

因式分解技巧如下：

技巧一：提取公因式法。如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

技巧二：公式法。技巧三：十字相乘法技巧。技巧四：双（长）十字相乘法。技巧五：主元法。：换元法。技巧六：分组分解法（添拆项）技巧七：因式分定理法。技巧八：待定系数法

代数中所有的问题归根到底就是两个问题：降次与消元。因式分解就是“降次”最重要的工具，没有之一。因此，因式分解的技巧是很丰富的，也充满竞技性和趣味性的。

因式分解的基本技巧主要有三个：提取公因式、公式法、十（双）字相乘法；高阶技巧主要有三个：因式定理法、待定系数法、轮换对称法。这两类技巧主要分别用于处理二次多项式的分解和高次多项式（三次及以上）的分解。

进阶技巧主要有三个：分组分解（添拆项）、换元法、主元法，这三个技巧的技巧性很强，并且一般不能直接分解因式，而是用于辅助前两类分解技巧进行因式分解。

初二数学因式分解的步骤及例题

因式分解是初二代数中的重要内容,并且它的内容贯穿在整个中学数学教材之中,学习它,既可以培养的观察能力、运算能力,又可以提高综合分析问题、解决问题的能力.转化是本章最重要的数学思想,即将高次的多项式分解转化为若干个较低次的因式的乘积.这种转化通常要通过观察、分析、尝试,应用提取公因式、乘法公式、分组分解等方法来达到目的.本专题重要讲解两个内容,一是因式风解的几点注意事项,二是因式分解的应用. 一、注意事项：

1、因式分解与整式乘法互为逆运算

2．在提公因式时,若各项系数都是整数,所提的公因式是各项系数的公约数与各项都含有的字母的次幂的积.

3．如果多项式的项系数是负数,一般要提出“-”号,使括号内的项系数是正数,在提出“-”号时,多项式的各项都要变号.

4．有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式,例如：-a-b+c=-(a+b-c)；

又如：当n为自然数时,(a-b)2n=(b-a)2n; (a-b)2n-1=-(b-a)2n-1,都是在因式分解过程中常用到的因式变换.

5．能运用平方公式a2-b2=(a+b)(a-b)分解的多项式,必须是二项式或视作二项式的多项式,且这二项的符号相反,

a、b可表示数,亦可表示字母或代数式,每项都能写成数（或式）的完全平方的形式.

5．能运用完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2分解的多项式,必须是三项式或视作三项式的多项式,且其中两项符号相同并都能写成数（或式）的完全平方形式,而余下的一项是这两个数（或式）的乘积的2倍.如果三项中的两个完全平方项都带有负号,则应先提出负号,再运用完全平方公式分解因式. 例1、把-a2-b2+2ab+4分解因式.

-a2-b2+2ab+4

=-(a2－2ab+b2-4)

=-[(a2-2ab+b2)-4]

=-[(a-b)2-4]

=-(a－b+2)(a－b－2)

如果多项式的项是负的,一般要提出负号,使括号内项系数是正的,以免出错. 例2、分解因式（a+b）n+2-2(a+b)n+1+(a+b)n

（a+b）n+2-2(a+b)n+1+(a+b)n

=（a+b）n[(a+b)2-2(a+b)+1]

=(a+b)n(a+b-1)2

本题先运用提取公因式,然后运用完全平方公式

例3、分解因式：x4－8x2+16

x4-8x2+16

=(x2-4)2

=[(x+2)(x-2)]2

=(x+2)2(x-2)2

本题注意分解,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. 二、因式分解的应用：

将式子化为若干个因式的乘积,这种转换往往能使复杂的运算展开,转换为一次因式中的简单加减运算,从而大大减化运算过程,这是等价转换的数学思想方法. 例1．计算：

(1) ;(2);

(3)2022-542+256×352; (4)6212-769×373-1482.

分析：此题中有1812-612,3192-2092；17.52-9.52, 131.52-3.52; 2022-542; 6212-1482.使我们考虑到多项式的乘法公式：

(a+b)(a-b)=a2-b2.

它的逆变形是 a2-b2=(a+b)(a-b)

应用上述变形式,我们就可以将较为复杂的平方运算,降价转化为简单的加、减运算和乘法运算. (1) = = =.

(2) = = =.

(3) 2022-542+256×352

=(202+54)×(202-54)+256×352

=256×148+256×352

=256×(148+352)

=256×500=128000. (4)6212-769×373-1482.

=(621+148)×(621-148)-769×373

=769×473-769×373

=769×(473-373)

=769×100=76900.

通过例1,我们不难得出解此类题目的方法：（1）逆用平方公式,化平方运算为乘法运算；（2）约分化简或提取因数结合运算求值.同时,例1也反映出分解因式的方法,在简化运算时的重要性.例2．求证：(1) 710-79-78=78×41; (2) 109+108+107=5×106×222; (3) 257-512能被120整除； (4)817-279-3能被45整除

分析：根据乘法的分配律、对多项式运算有 m(a+b+c)=ma+mb+mc,

反过来,我们可以得到 ma+mb+mc=m(a+b+c).

应用上述结论,能够恰到好处的达到降低次数,解决本例问题的目的. ∵(1) 710-79-78=78×(72-7-1)

=78×(49-8)=78×41,

∴710-79-78=78×41. (2)∵ 109+108+107=107×(102+10+1)

=107×(100+11)=106×10×111

=5×106×222

∴109+108+107=5×106×222. (3)∵257-512=(52)7-512

=514-512=511×(53-5)

=511×(125-5)=511×120,

∴257-512能被120整除； (4)∵817-279-3=(34)7-(33)9-(32)13

=328-327-326=324×(34-33-32)

=324×(81-27-9)=324×45,

∴817-279-3能被45整除. 通过例2,我们可以看出,解决此类整除问题的主要思路是：（1）提取适当的因数；（2）将提取因数后的其他数的代数和化简,得到我们能够说明问题的结论,从而解决问题. 例3．已知a= , b=, 求(a+b)2-(a-b)2的值. (a+b)2-(a-b)2

=[(a+b)+(a-b)][(a+b)-(a-b)]

=2a·2b=4ab,

∴(a+b)2-(a-b)2=4×× =. 例4．解方程：

(1)(65x+63)2-(65x-63)2=260; (2)(78x+77)(77x-78)=(78x+77)(77x+78).

(1)逆用平方公式,把原方程化为其等价形式

[(65x+63)-(65x-63)][(65x+63)+(65x-63)]=260,

即126×130x=260, ∴ x=.

(2)原方程可化为 (78x+77)(77x-78)-(78x+77)(77x+78)=0,

即-78×2×(78x+77)=0,

78x+77=0, ∴ x=- .

通过例4可见,应用等价转化思想来因式分解,往往可以将较高次的方程,巧妙转化为最简方程,从而求出方程的根.例5．（248-1）可以被60与70之间的两个数整除,这两个数是（ ）

A、61,63 B、61,65 C、63,65 D、63,67 248-1=(224+1)(224-1)

=(224+1)(212+1)(212-1)

=(224+1)(212+1)(26+1)(26-1),

∵ 26+1=65, 26-1=63.

∴ 应选C.

人教版初二数学下册常用到的因式分解公式有？

一．运用公式法

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

1.a^+2ab+b^=(a+b)^

2.a^-b^=(a+b)(a-b)

3.x^-3x+2=(x-1)(x-2)

4.(a1+a2+.....+an)^2=(a1^2+a2^2+a3^2+......+an^2)+(2a1a2a3....an)+(2a2a3a4......an)+(2a3a4a5.....an)+......+2an-1an

5.a^n-b^n=(a-b)[(a^(n-1)+a^(n-2)b+...+ab^(n-2)+b^(n-1)],n是整数

6.a^n+b^n=(a+b)[(a^(n-1)-a^(n-2)b+...+(-1)^(n-2)ab^(n-2)+(-1)^(n-1)b^(n-1)],n是奇数

二．拆项、添项法

因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．

1)x9+x6+x3-3；

(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；

(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；

(4)a3b-ab3+a2+b2+1．

解(1)将-3拆成-1-1-1．

原式=x9+x6+x3-1-1-1

=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)

=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)

=(x3-1)(x6+2x3+3)

=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．

(2)将4mn拆成2mn+2mn．

原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn

=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn

=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)

=(mn+1)2-(m-n)2

=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．

(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．

原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4

=〔(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2

=〔(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2

=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．

(4)添加两项+ab-ab．

原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab

=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)

=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)

=a(a-b)〔b(a+b)+1]+(ab+b2+1)

=[a(a-b)+1](ab+b2+1)

=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．

三．换元法

换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．

分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．

分析

将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．

解设x2+x=y，则

原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10

=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)

=(x-1)(x+2)(x2+x+5)

初二数学因式分解是什么？

把一个多项式化成几个最简整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，因式分解也可称为分解因式。

提公因式：ma + mb + mc = m（a+b+c）。

1、公因式的系数是多项式各项 系数的公约数。

2、字母取多项式各项中都含有的 相同的字母。

3、相同字母的指数取各项中最小的一个，即 次幂。

用因式分解法解一元二次方程的一般步骤:

一、将方程右边化为( 0) 。

二、方程左边分解为(两个 )因式的乘积。

三、令每个一次式分别为( 0)得到两个一元一次方程。

四、两个一元一次方程的解，就是所求一元二次方程的解。